Bild 1
Hinweis: Die reellen Maße der geometrischen Figuren sind nach dem Hochladen verändert, weswegen ich sie jeweils in der Grafik angebe, wie sie beim Konstruieren waren und zwar in Pixel.
1. Einleitung
Die klassische Geometrie hat die entscheidende Figur nie benannt — und vielleicht deshalb nie für die Quadratur als eine relevante erwogen
(Ergänzung am 7. Oktober 2026 hinzugefügt)
Den Begriff Inkreis finden wir als fachlich etablierten Begriff vor, nicht aber den seines Quadrats um ihn herum. „Umquadrat“ sucht man vergebens als einen üblichen Fachbegriff. Dieses berührt den Kreis in den Mittelpunkten seiner vier Seiten, während das in den Kreis eingeschriebene Quadrat den Kreis mit seinen vier Ecken berührt. Ich komme gleich zum ersten Punkt, wie ich beim Konstruieren vorging und vorgehe.
Die Diagonale des den Ausgangskreis umschließenden Quadrats dient als Durchmesser eines weiteren Umkreises und eröffnet den geometrischen Zugang zur Konstruktion der Seite a des kreisflächengleichen Quadrats. Dabei bezieht sich die Flächengleichheit auf den inneren Ausgangskreis und nicht auf den größeren Umkreis.
Die Diagonale des den Ausgangskreis umschließenden Quadrats hält den geometrischen Schlüssel zu jener Seitenlänge a bereit, die für die Quadratur des Kreises erforderlich ist und deren Konstruktion bislang als geometrisch nicht zugänglich angesehen wurde. Die Anwendung dieser Diagonale führt unmittelbar zum Multiplikationsfaktor √2, der die selbstähnliche rekursive Kreis-Quadrat-Folge bestimmt und die Grundlage der nachfolgend dargestellten Konstruktionen bildet. Der Multiplikationsfaktor √2 muss dabei nicht gesondert konstruiert werden. Wird die Zirkelspitze in den gemeinsamen Mittelpunkt M gesetzt und der Abstand zu einer Ecke des Quadrats als Radius übernommen, entsteht durch das Ziehen des Umkreises automatisch die zugehörige √2-Skalierung.
Dieses größere Quadrat erhält wie bereits auch der Ausgangskreis einen Inkreis, der ebenfalls sich in gleicher Weise vergrößert wie das nächst größere Quadrat, womit die Grundlage geschaffen ist, um in wenigen Schritten die Seite a der Quadratur zu bestimmen und das kreisflächengleiche Quadrat zu konstruieren. (Ende der Ergänzung für die Einleitung)
Jeweils nach Fertigstellen eines Quadrats mit seinem Inkreis ist ein um 45° gedrehtes gleichgroßes Quadrat notwendig mit gemeinsam beibehaltener Mitte, um die relevanten Schnittpunkte entstehen zu lassen.
Mit weiteren Ergänzungen im Text, vorgenommen am 7. Oktober 2026:
Die Geometrie ist reich an Begriffen, aber es fehlen einige für jene Teilflächen, die entstehen, wenn man Figuren, wie zwei kongruente Quadrate, gegeneinander dreht und überlagert. Die Dreiecksfläche, die erscheint, wenn ein Quadrat um 45° über einem anderen liegt, ist geometrisch eindeutig, aber terminologisch unsichtbar.
Von hoher Relevanz
Als eindeutig relevant zum Konstruieren des Kreisquadrats ermittelt habe ich den invariant auftretenden Abstand zwischen der Seitenmitte a des den Quadratur-Ausgangskreis umschließenden Quadrats (Umquadrat zu seinem Inkreis) und der viermal auftretenden Ecke des um 45° gedrehten ansonsten kongruenten Quadrats.
Der zwischen Seitenmitte des Umquadrats und der Spitze des um 45° gedrehten kongruenten Quadrats entstehende Abstand tritt invariant auf. Verdoppelt man diesen Abstand und addiert die Seitenlänge des Ausgangsquadrats, erhält man die Seitenlänge des nächst größeren Quadrats mit gleicher Mitte.
Bild 2
Diese Unsichtbarkeit jener noch nicht etabliert benannter Flächen ist mir Anlass genug dafür, diesen Artikel zu schreiben.
Die Quadratur des Kreises (rein geometrisch) wurde vielleicht deshalb nie gelöst, weil die Geometrie nie dort befragt wurde, wo die Lösung liegt: im Kreis selbst und seinem Umquadrat mit dessen relevanten Diagonallängen.
So setzt sich die grundsätzliche Struktur zusammen, wobei die kleineren Figuren (707 und 500) nicht bei jedem Konstruieren gebraucht werden:
Bild 3
Die Mathematik hat π untersucht, nicht den Kreis. Sie hat die Fläche numerisch zerlegt, statt geometrisch transformiert. Sie hat die Quadratur zu einem arithmetischen Problem erklärt und damit die geometrische Lösung ausgeschlossen, vielleicht bevor sie überhaupt auf wissenschaftlich etabliertem Niveau gesucht wurde.
Die hier vorgelegte Konstruktion zeigt, dass die Quadratur des Kreises geometrisch möglich ist, wenn man die radialen Beziehungen des Kreises nutzt. Die entscheidende Strecke entsteht über das Anwenden der Chancen aus einer Figurenkonstellation, die der Kreis selbst im ersten Schritt vorgibt, wenn er sich als Inkreis eines Quadrats sieht sowie eines zusätzlichen kongruenten aber um 45° gedrehten Quadrats mit gemeinsamer Mitte. Der Ausgangsgedanke bestand darin, ein zum Kreis gehörendes Quadrat um den gemeinsamen Mittelpunkt zu drehen und die dabei entstehenden Überlagerungen, Schnittpunkte und Abstände systematisch zu untersuchen. Hierdurch traten geometrische Beziehungen hervor, die in der klassischen Betrachtung von Kreis und Quadrat gewöhnlich unbeachtet bleiben. Siehe Bild 3 oben.
Zu Bild 4, unten:
Sobald das Konstruktionsgerüst vorliegt, brauche ich nur eine Linie zu ziehen, indem ich zwei Punkte auf der Kreislinie (wenn z. B. oben links, dann 11,25° und 67,5°; entsprechen versetzt, wenn z. B. unten rechts) miteinander verbinde um mit dieser Linie die Quadrat-Diagonale zu schneiden. Der somit erhaltene Konstruktionspunkt, der, wohin der schwarze Pfeil zeigt, stellt bereits die oder eine erste Ecke zur Verfügung des kreisflächengleichen Quadrats. Mit dem Zirkel oder je nachdem in der Grafik per Linie stelle ich den Abstand ein zwischen diesem erhaltenen Punkt und dem gemeinsamen Mittelpunkt der Figuren, M. Ich setze die Zirkelspitze auf M und erhalte in jeder der auch übrigen 3 Quadrat-Diagonallinien die exakte Position der übrigen 3 Quadrat-Ecken. Nachdem ich das Quadrat fertigstelle, ziehe ich den Kreis mit dem Durchmesser des Ausgangskreises, 1000, darum und fertig ist die Quadratur des Kreises. Diese Vorgehensweise mit euklidischen Werkzeugen dokumentiere ich zu Erklärungszwecken in Grafiken wie dieser:
Bild 4
Ein Beispiel meiner euklidischen Zeichnungen:
Fehlende Benennung von relevanten Flächen und ihren Beziehungen
Die fehlende Benennung der pro Quadrat vier als Dreiecke zu projizierenden Dreiecksflächen, die im Zuge dessen, wie oben beschrieben, entstehen, ist ein Hinweis darauf, dass die Geometrie diese Beziehung nie als relevant wofür auch immer oder als wesentlich erachtet hat. Die hier vorgestellten Konstruktionen zeigen, dass die Quadratur nicht nur durch π entstehen muss, sondern durch den Kreis und seine wahren Maße selbst. Zu bedenken gilt: Pi, wie wir es verwenden, bedeutet eine Annäherung an das aber wahre und unbestechliche Maß eines geometrisch gezogenen Kreises. Ich entdeckte gar viele Strecken und Schnittpunktverbindungslinien, die der Quadraturseite a entsprechen. Hier eine davon:
Bild 5
Hinweis zu oben, Bild 5: Die eingekreisten Zahlen entsprechen der Schrittfolge bis zum Konstruktionserfolg.
Hier ein weiteres Beispiel, wie ich zur Quadraturseite a fand und zudem die Viertelkreislänge ermittelt habe und dies zusammen in der Grafik darstellte:
Bild 6
Die Grafik auf Bild 7 unten zeigt weitere ermittelte passenden Längen zwischen implizit gegebenen Schnittpunkten der Kreisquadrat-Seite a. Der rechts im unteren Bild zu sehende Kreis dient dem Überprüfen der passenden Länge, da sein Radius genau die Länge der Quadraturseite aufweist. Schräg verlaufende Linien links im Kreis werden kurzerhand als Radius interpretiert und rechts in den Kreis übertragen. Dort, wo sie genau an der Kreislinie anstoßen, postuliere ich, dass sie der Länge der Quadraturseite entsprechen. Gern heiße ich eine jeweilige Überprüfung willkommen.
Bereits eine einzige korrekt konstruierte Strecke der Länge a genügt zur erfolgreichen Quadratur des Kreises. Umso bemerkenswerter ist die Beobachtung, dass das Kreisquadrat-Generatorgerüst zahlreiche voneinander unabhängige Streckenbeziehungen enthält, die auf dieselbe Länge führen. Die wiederholte Erscheinung dieser Länge dient nicht nur als Ergebnis der Konstruktion, sondern zugleich als Kontrolle ihrer geometrischen Konsistenz.
Ich war überrascht festzustellen, dass diese Grundstruktur eine Vielzahl implizit vorgegebener Schnittpunkte enthält, deren direkte Verbindung nicht selten zur gesuchten Seitenlänge a führt. Daraus entstand für mich die Überzeugung, dass im Verhältnis zwischen der Diagonale und der Seite a des das Kreisinnere umschließenden Quadrats jener geometrische Schlüssel verborgen liegt, der den Zugang zur Quadratur des Kreises eröffnet.
Bemerkenswert ist darüber hinaus, dass die Konstruktion nicht nur auf unmittelbaren Verbindungen zwischen vorhandenen Schnittpunkten beruht. Ebenso lassen sich bereits gewonnene Vorstufen-Schnittpunkte nutzen, um die Kreisquadrat-Seite in einem nachfolgenden oder sogar erst in einem weiteren Konstruktionsschritt zu erhalten. Bild 5 veranschaulicht diesen Zusammenhang exemplarisch. Die eingekreisten Ziffern kennzeichnen die jeweilige Schrittfolge der Konstruktion, nachdem das Kreisquadrat-Generatorgerüst vollständig vorliegt.
Bild 7
Im Bild oben zeige ich nur eine Auswahl von in Wirklichkeit noch mehr vorhandenen passenden Linien.
Vielen Dank für Ihren Besuch und Ihre Aufmerksamkeit!
analysiert, konstruiert und textliche Ausführungen von Elisabeth Becker-Schmollmann
(unabhängige interdisziplinäre Forschung)
Anmerkung: Bis vor Kurzem wurde hier eine versehentlich verkehrte Grafik hochgeladen. Inzwischen korrigiert. Es lag eine Verwechslung vor zwischen Viertelkreislinie und Kreisquadratseite.
