In der A‑B‑Variante bestimmt die seitliche Neigung des Magnetkörpers A das Vorzeichen der Eigenrotation von B, während die Vor‑/Zurück‑Neigung ausschließlich die Bahnseite und Bahnweite beeinflusst; beide Neigungsfreiheitsgrade wirken unabhängig voneinander.

1. Erweiterte A‑B‑Masterformel mit $\alpha$ und $\beta$

Wir fassen die Neigung von A explizit als Parameter in der Masterformel zusammen:

• $\alpha$ = seitliche Neigung von A
• $\beta$ = Vor-/Zurück‑Neigung von A

Das Magnetfeld von A hängt dann von diesen beiden Winkeln ab:

$${\vec{B}}_A(r,t;\alpha ,\beta )$$

Die feldbasierte Masterformel für B lautet:

$$I_B\frac{d{\omega }_B(t)}{dt}=\sum _{i=1}^N\left[\right({\widehat{m}}^B\cdot \mathrm{\nabla }){\vec{B}}_{A,i}(r,\theta ,t;\alpha ,\beta ){]}_{\text{geom. erlaubt}}\cdot {\widehat{e}}_{\text{tan}}(t)$$

Da der Abstand $\mathrm{\parallel }\vec{d}\mathrm{\parallel }\approx d_0$ nahezu konstant ist, kann man das oft zu einer effektiven Form verdichten:

$$I_B\frac{d{\omega }_B(t)}{dt}=M_{\text{eff}}(\beta )\sin \left(\alpha \right)$$

• $M_{\text{eff}}(\beta )$: Betrag des wirksamen Drehmoments, abhängig von der Vor-/Zurück‑Neigung $\beta$ (Bahnseite/Bahnweite)
• $\sin (\alpha )$: bestimmt Vorzeichen und Stärke der Rotation um die vertikale Achse

2. Kompakte Formel für die Rotationsrichtung von B

Die Rotationsrichtung hängt nur vom Vorzeichen der seitlichen Neigung $\alpha$ ab:

$$\mathrm{sgn}\left({\omega }_B\right)=-\mathrm{sgn}\left({\alpha }_{\text{seitlich}}\right)$$

• ${\alpha }_{\text{seitlich}}>0$ → ${\omega }_B<0$ (eine Drehrichtung)
• ${\alpha }_{\text{seitlich}}<0$ → ${\omega }_B>0$ (entgegengesetzte Drehrichtung)
• $\beta$ ändert daran nichts, sondern nur die Bahnseite/-weite über $M_{\text{eff}}(\beta )$.

Wenn du magst, können wir als nächsten Schritt diese beiden Gleichungen (Master + Richtungsformel) in eine ganz kurze „Theorie‑Box“ gießen, die du später 1:1 wiederverwenden kannst.

Theorie‑Box: Erweiterte A‑B‑Masterformel mit $\alpha$ und $\beta$

(für spätere Verwendung, vollständig und kompakt)

1. Geometrie und Abstand

A befindet sich stets hinter B:

$$s_A(t)=s_B(t)-\mathrm{\Delta }s,\mathrm{\Delta }s>0,\mathrm{\mid }\mathrm{\Delta }s\mathrm{\mid }\ll 1.$$

Der laterale Abstand bleibt nahezu konstant:

$$\mathrm{\parallel }\vec{d}(t)\mathrm{\parallel }=d_0+\delta d(t),\mathrm{\mid }\delta d(t)\mathrm{\mid }\ll d_0\mathrm{.}$$

2. Neigungsfreiheitsgrade von A

A besitzt zwei steuerbare Neigungswinkel:

• Seitliche Neigung: $\alpha$
• Vor-/Zurück‑Neigung: $\beta$

Der Dipolvektor von A hängt davon ab:

$${\widehat{m}}^A={\widehat{m}}^A(\alpha ,\beta )\mathrm{.}$$

3. Magnetische Kraft (nahezu konstante Stärke)

$${\vec{F}}_{AB}(t)\approx k_A\frac{m_A{m}_B}{d_0^3}\vec{d}(t)\mathrm{.}$$

Die Stärke ist nahezu konstant; die Richtung hängt von $\alpha$ und $\beta$ ab.

4. Drehmoment auf B

$${\vec{\tau }}_{AB}(t)=\vec{r}(t)\times {\vec{F}}_{AB}(t)\mathrm{.}$$

Die für die Rotation relevante Komponente:

$$I_B\frac{d{\omega }_B(t)}{dt}=(\vec{r}(t)\times {\vec{F}}_{AB}(t))\cdot {\widehat{e}}_{\text{tan}}(t)\mathrm{.}$$

5. Effektive Drehmomentform (kompakt)

Da der Abstand konstant ist, lässt sich das Drehmoment als Funktion der Neigungswinkel schreiben:

$$I_B\frac{d{\omega }_B(t)}{dt}=M_{\text{eff}}(\beta )\sin (\alpha )\mathrm{.}$$

• $\alpha$ bestimmt Vorzeichen und Stärke der Rotation
• $\beta$ moduliert Bahnweite und Bahnseite, aber nicht die Rotationsrichtung

⭐ 6. Kompakte Formel für die Rotationsrichtung von B

$$\mathrm{sgn}({\omega }_B)=-\mathrm{sgn}(\alpha )\mathrm{.}$$

• $\alpha >0$ → B rotiert in Richtung 1
• $\alpha <0$ → B rotiert in Richtung 2
• $\beta$ ändert daran nichts

7. Wirkung der Vor-/Zurück‑Neigung

$$\beta \Rightarrow \mathrm{\Delta }{r}_B(t)$$

• $\beta$ steuert Bahnseite (links/rechts)
• $\beta$ steuert Bahnweite (enger/weiter)
• $\beta$ beeinflusst nicht das Vorzeichen von ${\omega }_B$

⭐ 8. Gesamtverhalten (neutral)

• A verfolgt B mit nahezu konstantem Abstand.
• B steht leicht schief und rollt auf seiner unteren Kante.
• Die seitliche Neigung $\alpha$ bestimmt die Rotationsrichtung von B.
• Die Vor-/Zurück‑Neigung $\beta$ bestimmt die Bahnseite und Bahnweite.
• Die Rotation von B bleibt stabil, solange $\alpha$ konstant bleibt.
• B rollt A dauerhaft davon, solange der Drehteller läuft.

┌──────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ A‑B‑SYSTEM │
│ (A verfolgt B, Abstand nahezu konstant d₀) │
└──────────────────────────────────────────────────────────────┘

             Bewegungsrichtung von B
                     ↑
                     │
                     │
            B (leicht schief, rollt)
                     ●
                    ╱│╲
                   ╱ │ ╲   ← Rollpunkt an der unteren Kante
                  ●──┴──●
                     │
                     │   d₀ ≈ konstant
                     │
                     ●  A (hinter B, 1–2 mm über Boden)
                   / | \
                  /  |  \
                 /   |   \
             Neigungswinkel α, β

───────────────────────────────────────────────────────────────

1. GEOMETRIE
   ───────────────────────────────────────────────────────────────

A befindet sich stets hinter B:
s_A(t) = s_B(t) – Δs (Δs > 0, klein)

Lateraler Abstand:
||d(t)|| = d₀ + δd(t) (|δd| ≪ d₀)

A ist sehr niedrig geführt:
Höhe ≈ 1–2 mm über Boden

───────────────────────────────────────────────────────────────

2. NEIGUNGSFREIHEITSGRADE VON A
   ───────────────────────────────────────────────────────────────

Seitliche Neigung (links/rechts):
α

Vor-/Zurück‑Neigung:
β

Dipolvektor:
m_A = m_A(α, β)

───────────────────────────────────────────────────────────────

3. WIRKUNG AUF B
   ───────────────────────────────────────────────────────────────

A nähert sich B von hinten → Feldgradient steigt →
B versucht Polsprung → schafft nur Ansatz → leichte Schieflage:

α_B ≈ klein, konstant

→ B steht auf einer unteren Kante → Rollpunkt entsteht.

───────────────────────────────────────────────────────────────

4. ROTATION VON B
   ───────────────────────────────────────────────────────────────

Tangentiales Drehmoment:
τ_AB = r × F_AB

Rotation um die vertikale Achse:
ω_B = ω_B · e_z

Schieflage → Rotation wird zu Rollen → B rollt A davon.

───────────────────────────────────────────────────────────────

5. WIRKUNG DER NEIGUNGEN
   ───────────────────────────────────────────────────────────────

Seitliche Neigung α:
bestimmt ausschließlich die Rotationsrichtung von B

sgn(ω_B) = – sgn(α)

Vor-/Zurück‑Neigung β:
bestimmt Bahnseite und Bahnweite von B
(aber NICHT die Rotationsrichtung)

β → Δr_B(t)

───────────────────────────────────────────────────────────────

6. ERWEITERTE MASTERFORMEL
   ───────────────────────────────────────────────────────────────

I_B · dω_B/dt = M_eff(β) · sin(α)

• α → Vorzeichen und Stärke der Rotation
• β → Modulation der Bahnweite/-seite
• d₀ → nahezu konstant → Kraftbetrag fast konstant

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7. GESAMTBILD
   ───────────────────────────────────────────────────────────────

A verfolgt B mit fast konstantem Abstand.
B steht leicht schief und rollt auf seiner unteren Kante.
α steuert die Rotationsrichtung.
β steuert die Bahnseite und Bahnweite.
B rollt A dauerhaft davon, solange der Drehteller läuft.

Hier die Formeln ohne Text:

A‑B‑Formeln (kompakt, ohne Text)

$$s_A(t)=s_B(t)-\mathrm{\Delta }s$$

$$\mathrm{\parallel }\vec{d}(t)\mathrm{\parallel }=d_0+\delta d(t)$$

$${\vec{F}}_{AB}(t)\approx k_A\frac{m_A{m}_B}{d_0^3}\vec{d}(t)$$

$${\vec{\tau }}_{AB}(t)=\vec{r}(t)\times {\vec{F}}_{AB}(t)$$

$$I_B\frac{d{\omega }_B(t)}{dt}=(\vec{r}(t)\times {\vec{F}}_{AB}(t))\cdot {\widehat{e}}_{\text{tan}}(t)$$

$$I_B\frac{d{\omega }_B(t)}{dt}=M_{\text{eff}}(\beta )\sin (\alpha )$$

$$\mathrm{sgn}({\omega }_B)=-\mathrm{sgn}(\alpha )$$

$$\mathrm{\Delta }{r}_B(t)=g(\beta )$$

Oder so:

A‑B‑Masterformel (einziger Block)

$$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{ccccccc}{\displaystyle I_B\frac{d{\omega }_B(t)}{dt}}& {\displaystyle =[(\vec{r}(t)\times k_A\frac{m_A{m}_B}{\mathrm{\parallel }\vec{d}(t){\mathrm{\parallel }}^3}\vec{d}(t))\cdot {\widehat{e}}_{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}}(t)]\text{[}6pt]}& {\displaystyle =M_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(\beta )\sin (\alpha )\text{[}6pt]\mathrm{sgn}({\omega }_B(t))}& {\displaystyle =-\mathrm{sgn}(\alpha )\text{[}6pt]\mathrm{\parallel }\vec{d}(t)\mathrm{\parallel }}& {\displaystyle =d_0+\delta d(t),\mathrm{\mid }\delta d(t)\mathrm{\mid }\ll d_0\text{[}6pt]s_A(t)}& {\displaystyle =s_B(t)-\mathrm{\Delta }s,\mathrm{\Delta }s>0\text{[}6pt]\mathrm{\Delta }{r}_B(t)}& {\displaystyle =g(\beta )}\end{array}}}$$

oder

1. Noch kompakter

• alle Formeln in einer einzigen Zeile,
• keine Nebenbedingungen,
• keine Vektorpfeile,
• nur die essenzielle Funktionsbeziehung.

Beispiel:

$$I_B{\dot{\omega }}_B=M_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(\beta )\sin (\alpha )$$

Das ist die minimalistische Kurzform.

2. In rein skalaren Größen

Das bedeutet:

• keine Vektoren,
• keine Kreuzprodukte,
• alles in Beträgen und Skalaren geschrieben.

Beispiel:

$$I_B{\dot{\omega }}_B=r{F}_{AB}\sin (\phi )\sin (\alpha )$$

Das ist nützlich, wenn du die Formel ohne Vektorrechnung darstellen willst.

3. Als Vektorblock ohne Nebenbedingungen

Das bedeutet:

• nur die Hauptgleichung,
• in voller Vektorform,
• ohne Abstandsgleichungen, ohne s_A(t), ohne Δr_B(t).

Beispiel:

$$I_B{\dot{\omega }}_B=[(\vec{r}\times k_A\frac{m_A{m}_B}{\mathrm{\parallel }\vec{d}{\mathrm{\parallel }}^3}\vec{d})\cdot {\widehat{e}}_{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}}]$$

Das ist die reine, vollständige Vektorform.