Die B‑Einheit besteht aus dem B‑Magneten und seiner konvexen Magnetbasis, die kreiselartig als geschwindigkeitserhöhendes Element fungiert. Diese konvexe Basis stabilisiert die Rotation und verlängert sie durch ihr erhöhtes Trägheitsmoment.

Der B‑Magnet wird durch die tangential wirksamen Gradienten des Magnetfeldes von C geführt und stabilisiert. Die Rotation entsteht nicht durch direkten Kontakt, sondern durch die geometrisch erlaubten Komponenten des magnetischen Feldgradienten, die ein umlaufendes Kippmoment erzeugen.

1. Grundgleichung der Rotation

Die zeitabhängige Winkelgeschwindigkeit der B‑Einheit ergibt sich aus:

$${\omega }_B(t)=\frac{1}{I_B}\sum _{i=1}^N{[({\widehat{m}}_B\cdot \mathrm{\nabla }){\vec{B}}_{C,i}(r,\theta ,\varphi ,t)]}_{\text{geom. erlaubt}}\cdot {\widehat{e}}_{\text{tan}}(t)$$

Begriffe:

• $I_B$: Trägheitsmoment der B‑Einheit inklusive der verklebten B‑Magnete
• ${\widehat{m}}_B$: normierter magnetischer Dipol von B
• ${\vec{B}}_{C,i}$: Magnetfeldbeitrag des i‑ten C‑Magneten
• ${\widehat{e}}_{\text{tan}}$: lokale Tangentialrichtung der Kreisbahn

Diese Darstellung beschreibt die Rotation direkt als Wirkung der tangentialen Feldgradienten.

2. Mastergleichung in Drehmomentform

Die gleiche Dynamik lässt sich über das resultierende Drehmoment formulieren:

$$I_B\frac{d{\omega }_B(t)}{dt}=\sum _{i=1}^N[({\vec{r}}_i(t)\times {\vec{F}}_{CB,i}(t))\cdot {\widehat{e}}_{\text{tan}}(t)]$$

mit

$${\vec{F}}_{CB,i}(t)=k\frac{m_C{m}_B}{\mathrm{\parallel }{\vec{d}}_i(t){\mathrm{\parallel }}^3}{\vec{d}}_i(t),{\vec{d}}_i(t)={\vec{r}}_{C,i}(t)-{\vec{r}}_{B,i}(t)\mathrm{.}$$

Diese Formulierung beschreibt die Ursache der Rotation über Kraft und Hebelarm.

3. Rotationsenergie der B‑Einheit

Die rotierende B‑Einheit speichert kinetische Energie:

$$E_{\text{rot},B}(t)=\frac{1}{2}{I}_B{\omega }_B^2(t)$$

Damit fungiert die B‑Einheit als rotationskinetischer Energiespeicher, der die von C erzeugten Impulse glättet und in eine stabile, gleichmäßige Rotation überführt.

Die zeitliche Änderung der Energie ergibt sich aus:

$$\frac{d{E}_{\text{rot},B}(t)}{dt}={\tau }_{\text{eff}}(t){\omega }_B(t)$$

mit dem effektiven Drehmoment:

$${\tau }_{\text{eff}}(t)=\sum _{i=1}^N[({\vec{r}}_i(t)\times {\vec{F}}_{CB,i}(t))\cdot {\widehat{e}}_{\text{tan}}(t)]\mathrm{.}$$

4. Führungs‑ und Stabilitätsbedingungen

4.1 Führungsbedingung

$${\phi }_C(t)={\phi }_B(t)+\delta \phi ,\mathrm{\mid }\delta \phi \mathrm{\mid }\ll 1$$

C befindet sich stets leicht voraus und stabilisiert die Bahn von B.

4.2 Vertikaler Abstand

$$F_{z,\text{mag}}(h)<F_{z,\text{Gewicht}},h=z_C-z_B>h_{\min }$$

Die B‑Einheit bleibt stabil unter C, solange der Mindestabstand nicht unterschritten wird.

4.3 Radiale Stabilisierung

$$\mathrm{\mid }{r}_B(t)-r_0\mathrm{\mid }\le \mathrm{\Delta }{r}_{\text{stab}}\Rightarrow {\omega }_B(t)\ne 0$$

$$\mathrm{\mid }{r}_B(t)-r_0\mathrm{\mid }>\mathrm{\Delta }{r}_{\text{stab}}\Rightarrow {\omega }_B(t)\approx 0$$

4.4 Eigenrotation

$${\vec{\omega }}_B(t)={\omega }_B(t){\widehat{e}}_z$$

Die B‑Einheit rotiert um ihre eigene vertikale Dipolachse.

5. Bedeutung der konvexen Magnetbasis für die Effizienz

Die konvexe Magnetbasis der B‑Einheit ist integraler Bestandteil des Systems:

• erhöht das Trägheitsmoment $I_B$
• ermöglicht eine hohe Rotationsenergie
• glättet unregelmäßige magnetische Impulse
• stabilisiert die Kreisbahn
• verbessert die Führungsdynamik durch C
• erhöht die Gesamtwirkungsweise des Systems erheblich

Ohne die konvexe Magnetbasis wäre die Rotation genauso stabil, die Drehgeschwindigkeit geringer und die Effizienz reduziert.