Geometrische Herleitung der kreisflächengleichen Seite a dank einer eigens ermittelten Hilfskonstruktion aus Quadraten und Kreisen mit gemeinsamer Mitte
Anmerkung: Hier stellte sich heraus, dass dem Bericht ein Missverständnis zugrunde lag bzgl. der Länge der roten Linie.
Die Seite wird Zug um Zug überarbeitet.
Ich beginne damit, eine überarbeitete Grafik hochzuladen und den Text dazu in Kürze folgen zu lassen.
Abstract
Die klassische Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises beruht auf einem Missverständnis: Lindemann widerlegt die algebraische Konstruierbarkeit der Zahl √π, nicht die geometrische Vorgehensweise, die aus dem Kreis selbst hervorgeht. Dieses Manuskript zeigt eine rein euklidische Konstruktion, die aus der Zwangsgeometrie zweier Quadrate mit gemeinsamer Mitte, ihrem Inkreis und der dia‑cut‑line eine eindeutig bestimmte schräge Lösungsstrecke erzeugt. Die Überführung dieser Strecke in die Horizontale liefert exakt die Quadratseite
Alle Punkte entstehen aus Schnittpunkten; kein einziger Punkt wird frei gewählt. Die Konstruktion ist vollständig geometrisch determiniert und lehrbuchtauglich.
1. Einleitung
Die Quadratur des Kreises gilt seit Lindemann als algebraisch unmöglich. Dieser Befund betrifft jedoch ausschließlich die Nicht‑Konstruierbarkeit der Zahl √π aus endlich vielen algebraischen Operationen. Die hier dargestellte Konstruktion ist nicht algebraisch, sondern geometrisch: Sie erzeugt die Quadratseite aus der Figur selbst, ohne freie Wahl eines Punktes oder einer Strecke. Die Konstruktion beruht ausschließlich auf Zirkel, Bleistift und markierungsfreiem Lineal.
Das dem folgenden Text zugrundeliegende Bild folgt in Kürze.
2. Ausgangsfiguren
Die Konstruktion beginnt mit:
- dem Basisquadrat ①,
- seinem Inkreis ②,
- dem gedrehten Quadrat ③,
- dem daraus entstehenden Umkreis über acht Ecken ④,
- dem äußeren Quadrat ⑤,
- der dia‑cut‑line mit Mittelpunkt ⑥,
- der Höhe ⑦,
- dem Hilfskreis mit Mittelpunkt ⑧.
Alle Figuren besitzen dieselbe Mitte. Die Schnittpunkte dieser Figuren erzeugen die gesamte Konstruktion.
3. Konstruktive Methode und Zwangsgeometrie
Die Konstruktion verwendet keinen einzigen frei erfundenen Punkt. Alle relevanten Punkte entstehen aus:
- Überlagerung zweier Quadrate,
- Schnittpunkten ihrer Diagonalen,
- dem Inkreis,
- der dia‑cut‑line,
- der Höhe,
- dem Hilfskreis.
Die Lösungsstrecke ⑧–⑨ muss kürzer sein als die Seite des Umquadrats. Diese Kürzung entsteht nicht durch Setzen, sondern durch die Geometrie selbst.
4. Geometrische Erzeugung des Steigungsgrades der Lösungsstrecke ⑧–⑨
4.1 Vertikale Komponente: die Höhe h
Die Diagonale des gedrehten Quadrats beträgt
Die Seite des achsparallelen Quadrats beträgt
Der vertikale Abstand zwischen der Ecke des gedrehten Quadrats und der Seite a des Basisquadrats ergibt die Höhe
Diese Höhe ist die vertikale Komponente der späteren schrägen Strecke ⑧–⑨.
4.2 Horizontale Komponente: dia‑cut‑line
Die horizontale Komponente entsteht von der linken Ecke des Basisquadrats bis zum Mittelpunkt der dia‑cut‑line. Diese Strecke ist geometrisch erzwungen und bildet die horizontale Komponente der späteren schrägen Strecke.
4.3 Steigungsgrad und erzwungene Länge
Die Kombination aus:
- vertikaler Komponente ,
- horizontaler Komponente der dia‑cut‑line,
bestimmt den Steigungsgrad der Strecke ⑧–⑨ vollständig.
Da beide Komponenten durch die Figuren selbst erzeugt werden, ist der Steigungsgrad nicht frei wählbar. Jede Abweichung würde eine andere Länge der Strecke erzeugen.
Die tatsächliche Länge der Strecke entsteht daher ausschließlich aus der Zwangsgeometrie — ohne einen einzigen frei gewählten Punkt.
5. Überführung in die Horizontale und Quadraturseite
Die Überführung der schrägen Strecke ⑧–⑨ in die Horizontale ergibt die Länge
Diese Länge entspricht exakt der Bedingung
wobei der Radius des Ausgangskreises
beträgt.
Damit ist die Kreisquadratseite nicht algebraisch postuliert, sondern durch die Geometrie selbst erzeugt.
6. Numerische Bestätigung
Die grafisch ermittelte Strecke dist(⑧,⑨) ergibt sich zu 323,47. Für den Radius des Ausgangskreises gilt . Damit folgt:
Die Diagonale des Umquadrats beträgt
und liefert die vertikale Komponente
die zusammen mit der horizontalen Komponente den Steigungsgrad der Lösungsstrecke erzwingt.
7. Schlussfolgerung
Die Konstruktion zeigt, dass die Quadraturseite aus der Geometrie selbst hervorgeht. Sie ist das Ergebnis einer eindeutig bestimmten Zwangsgeometrie aus Diagonale, dia‑cut‑line, Höhe und gemeinsamer Mitte der Figuren.
Anmerkung: Lindemann widerlegt eine algebraische Konstruktion, nicht die geometrische Vorgehensweise.
Gesamtlegende ①–⑭
- ① — Hilfsquadrat
- ② — Inkreis
- ③ — Gedrehtes Hilfsquadrat
- ④ — Umkreis mit acht Ecken
- ⑤ — Den Kreis 4 umschließendes Quadrat
- ⑥ — Mittelpunkt der kleinen Schnittlinie
- ⑦ — Höhe/Abstand zwischen Diagonalecke und Seite a
Die zentrale Lösungsstrecke und ihr Radius
- ⑧ — Genialitätspunkt: Dreh‑ und Angelpunkt, Mittelpunkt des Hilfskreises, rechter unterer Eckpunkt des Zielquadrats und Abstandspunkt der Höhe ⑦ auf der Linie ⑥–⑧
- ⑨ — Zweiter Punkt der Lösungsstrecke
- ⑩ — Übertragungsradius aus der Lösungsstrecke ⑧–⑨
Die Eckpunkte des Zielquadrats
- ⑪ — Per Kreisschnitt erzeugter linker unterer Eckpunkt des Zielquadrats
- ⑧ — (siehe oben) rechter unterer Eckpunkt des Zielquadrats
- ⑫ — Rechter oberer Eckpunkt des Zielquadrats
Die beiden Kreise der Endfigur
- ⑬ — Kreis der Quadratur
- ⑭ — Kreis mit dem Kreisquadrat
Kurzfassung der Schlüsselrollen (laienverständlich)
- ⑧ ist der Dreh‑ und Angelpunkt der gesamten Konstruktion.
- ⑧–⑨ ist die Lösungsstrecke.
- ⑩ ist der Übertragungsradius daraus.
- ⑪–⑧ ist die untere Seite a des Zielquadrats.
- ⑫ ist oben rechts.
- ⑬ ist der Quadraturkreis.
- ⑭ ist der Kreis mit dem Kreisquadrat.
Konstruktion von Elisabeth Becker-Schmollmann
