Herleitung aus Sicht der Konstrukteurin geschildert

Hier wird die verkürzte Version beschrieben zur Variante II der Quadratur-Ermittlung

1. Ausgangsstrecke

Man beginnt mit Zirkel, Bleistift und Lineal ohne Markierung mit einer beliebig langen Strecke am unteren Blattrand quer gezeichnet.

Von ihr wird eine Seitenlänge zwecks Erstellen eines Quadrats mit dem Zirkel abgeteilt, dessen Durchmesser zugleich dem Durchmesser des Kreises entspricht, dessen flächengleiches Quadrat über dessen Seite a zu ermittelnden gilt.

2. Mittellinie der Strecke

Die Strecke $a$ erhält auf ihrem Mittelpunkt eine senkrechte Linie, die weiter nach oben führt, als nur die Länge der Quadratseite. Diese Mittellinie dient als Bezugslinie für den Punkt, an dem die diagonal verlaufende Seite a des gedrehten Quadrats ansetzen würde.

3. Bestimmung des Startpunkts der gedrehten Quadratdiagonale

Der Startpunkt der diagonal verlaufenden Seite a liegt oberhalb der Mittellinie der Seite a des achsenparallelen Hilfsquadrats. Sein Abstand zur Strecke ergibt sich aus der Differenz zwischen Quadratdiagonale und Quadratseite, geteilt durch zwei:

$$\frac{e-a}{2}\mathrm{.}$$

e steht für den Abstand zwischen beiden Quadratecken. Dieser Ansatz-Punkt ist unabhängig vom Kreis und entsteht allein aus den Maßverhältnissen des Quadrats.

4. Erzeugen der 45°‑Linie

Von diesem Punkt aus wird die benötigte Linie im Winkel von ${45}^{\circ }$ zur Strecke $a$ gezogen. Sie kann konstruiert werden durch:

• gleiche Schritte nach links und nach unten
• oder gleiche Schritte nach rechts und nach unten
• oder mit dem Zirkel

Die Linie besitzt die gleiche Richtung wie die Diagonale des nicht gedrehten Quadrats.

5. Erzeugen der dia‑cut‑line

Die 45°‑Linie schneidet die Strecke $a$ an zwei Stellen. Dadurch entstehen zwei äußere kürzere Abschnitte, wovon aber nur eine zum Konstruieren benötigt wird. Diese nenne ich:

$$\text{dia‑cut‑line}\mathrm{.}$$

Dieser Abschnitt entsteht ausschließlich durch die Überlagerung beider Quadrate, des geraden und des gedrehten oder in der verkürzten Form durch die oben beschriebenen beiden sich schneidenden bzw. sogar kreuzenden Linien. Er wird nicht vom Kreis berührt.

6. Erzeugen des mittleren Abschnitts

Der mittlere Abschnitt entsteht erst, wenn die zweite 45°‑Linie — symmetrisch zur ersten — ebenfalls zur Strecke $a$ geführt wird. Erst durch beide Linien wird die Strecke $a$ in drei Teile zerlegt:

• linker äußerer Abschnitt (dia‑cut‑line)
• mittlerer Abschnitt (Mitte)
• rechter äußerer Abschnitt (dia‑cut‑line)

Für die weitere Konstruktion genügt jedoch eine der beiden dia‑cut‑lines.

7. Invariante Beziehung der Abschnitte

Die beiden äußeren Abschnitte, die für die Konstruktion relevant sind, aber von denen nur einer benötigt wird, sind maßstabsinvariant.

8. Bestimmung der Viertelkreislänge

Die Viertelkreislänge ergibt sich aus der Summe dieser beiden Abschnitte:

Die Viertelkreislänge setzt sich numerisch zusammen aus der halben Länge der Quadratseite plus der dia-cut-line.

$$\text{Viertell}\ddot{\text{a}}\text{nge}=\text{Mitte}+\text{dia‑cut‑line}\mathrm{.}$$

Damit wird die Viertellänge nicht am Kreis selbst gemessen, sondern mithilfe der Beteiligung der diagonalen Struktur des gedrehten Quadrats gewonnen.

9. Beispielwerte

Für $a=401$:

• Mitte: $\mathrm{172,110}$
• dia‑cut‑line: $\mathrm{114,444}$
• Viertellänge: $\mathrm{314,944}$

$$\mathrm{314,944}=\mathrm{172,110}+\mathrm{114,444.}$$

10. Didaktischer Kern

Die Konstruktion zeigt, wie sich die Viertelkreislänge eines Kreises über die Schnittstruktur zweier kongruenter Quadrate bestimmen lässt. Sie ist geometrisch konsistent und maßstabsfrei.

Ergänzend:

Indizien mit mutmaßlichem Beweis-Charakter der korrekt konstruierten Seite a des Kreisquadrats über die Variante III

Schilderung der ursprünglichen Herleitung aus Sicht der Konstrukteurin

Meine Idee mit dem hier gezeigten Grundarrangement der beteiligten Figuren als Hilfskonstruktion führte zum Erfolg. Beteiligt sind: 1 Quadrat mit gleichlanger Seite wie der Durchmesser seines Inkreises; ein gleichgroßes Quadrat mit gemeinsamer Mitte, aber um 45° gedreht; 1 In-Quadrat zum Kreis. Notwendig ist das Zeichnen einer oder zweier Diagonalen, um S1 und S2 zu erhalgen.

Nachdem die Grundfiguren konstruiert sind, bedarf es nur wenige Schritte bis zum Erfolg. Hier meine jüngste Arbeit: (Stand 29.09.2026)

Mein erstes Mal war so: Ich überlegte zunächst, welche Hilfskonstruktion für das Konstruieren der Kreisquadrat-Seite a am geeignetsten wäre, und entschied mich für ein ganz bestimmtes Quadrat, nämlich eines, dessen Seitenlänge dem Durchmesser des Ausgangskreises entspricht. Früher bezeichnete ich diese Figur als „Um-Quadrat“. Da sich hierfür jedoch keine etablierte mathematische Bezeichnung findet, beschreibe ich den Kreis als Inkreis des Quadrats, der zusammen mit seinem Radius zugleich als Ausgangskreis für die Konstruktion dient.

Was nicht jedem bekannt ist: Lindemanns Beweis der Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises bezieht sich auf die algebraische Konstruierbarkeit der Kreiszahl Pi mit Zirkel und Lineal. Er behandelt nicht die Frage, ob innerhalb einer geometrischen Struktur eine Strecke ermittelt werden kann, deren Länge der Seite eines kreisflächengleichen Quadrats entspricht. Auf diese Fragestellung richtete sich die Untersuchung.

Die bekannte analytische Beziehung für die Seite eines kreisflächengleichen Quadrats lautet:

a = r · √Pi

Ziel war nicht die analytische Berechnung dieser Länge, sondern die Frage, ob sich dieselbe Länge innerhalb einer rein geometrischen Struktur konstruieren oder identifizieren lässt.

Die Konstruktionen liefern die geometrische Herleitung der gesuchten Strecke, deren Länge der Seite eines kreisflächengleichen Quadrats entspricht.

In der mathematischen Literatur ist keine geometrische Konstruktion dokumentiert, die die kreisflächengleiche Quadratseite exakt bestimmt. Die hier vorgestellte Konstruktion schließt diese Lücke und liefert eine rein geometrische Herleitung dieser Strecke.

Die Hilfskonstruktion liefert implizit erzeugte Schnittpunkte aus Quadraten und Kreisen mit gemeinsamer Mitte und die entsprechenden Diagonalen, wobei Maßstabsinvarianz den Ton angibt.

Mein Ziel bestand darin, die gesuchte Seitenlänge des kreisflächengleichen Quadrats aus den sich innerhalb der Konstruktion selbst ergebenden Schnittpunkten und Abständen zu ermitteln.

Dazu ließ ich den Kreisdurchmesser als Maßstab sämtlicher weiterer Abstandsbeziehungen die Schnittpunkte selbst hervorbringen. Dieser Ansatz erwies sich als erfolgreich und führte auf mehreren Wegen zu derselben – zur Kreisquadratseitenlänge identischen – Lösungsstrecke. Ebenso zur eigens konstruierten Viertelkreislinie.

Die Hilfskonstruktion

Der Ausgangskreis wird gemäß einer damaligen Idee von mehreren geometrisch eng verwandten Figuren umgeben. Einerseits diente er als Inkreis eines ihn an vier Punkten berührenden Quadrats, andererseits enthält er selbst ein Quadrat, dessen vier Eckpunkte auf dem Kreis liegen.

1) Ausgangskreis als Inkreis eines Quadrats

Der Ausgangskreis ist sowohl

a) Inkreis eines achsenparallelen Quadrats, bezeichnet als Quadrat1-um,

als auch

b) Inkreis eines zu a) kongruenten, jedoch um 45° gedrehten Quadrats mit gleicher Seitenlänge und gemeinsamem Mittelpunkt, bezeichnet als Quadrat1-um-45°.

Für b) gilt:

Die um 45° gedrehten Seiten schneiden die vier Seiten des achsenparallelen Quadrats jeweils in zwei Punkten. Insgesamt entstehen dadurch acht Schnittpunkte. Auf jeder Seite des achsenparallelen Quadrats teilen diese beiden Schnittpunkte die Seite in drei Abschnitte:

• zwei gleich lange äußere Abschnitte,
• einen mittleren längeren Abschnitt.

Da hierfür keine gebräuchliche Bezeichnung existiert, nenne ich die kürzeren äußeren Abschnitte dia-cut-lines.

Für die Konstruktion der Seite a des kreisflächengleichen Quadrats genügt eine einzige dieser Linien. Bevorzugt verwende ich den rechts oben befindlichen horizontalen Abschnitt.

Diesen kurzen Abschnitt markiere ich in meinen Grafiken meist grün oder kennzeichne seine Endpunkte durch zwei Pfeilspitzen.

2) Inneres Quadrat des Ausgangskreises

In den Ausgangskreis wird ein weiteres Quadrat eingezeichnet, vorgeschlagen bezeichnet als Quadrat1-in. Seine vier Eckpunkte liegen auf dem Ausgangskreis, und es besitzt denselben Mittelpunkt wie die zuvor konstruierten Figuren.

Hieraus ergeben sich mehrere Schnittpunkte, die sich für das Zeichnen weiterer Verbindungslinien und Diagonalen eignen. Beim Betrachten der Konstruktion zeigte sich eine Vielzahl exakt bestimmter Abstände, die sich durch Verbindung geeigneter Schnittpunkte untersuchen ließen.

Die entstehenden Linien besitzen unterschiedliche Richtungen und Längen. Da die gesuchte Kreisquadratseite a kürzer als der Kreisdurchmesser sein musste, konzentrierte ich mich zunächst auf diejenigen Strecken, die diesem Größenbereich entsprachen.

Diese Linien entstehen nicht durch zusätzliche Hilfspunkte, sondern allein durch die bereits vorhandenen geometrischen Beziehungen. Ihre Längen sind durch die Konstruktion eindeutig vorgegeben.

Unter ihnen befinden sich Strecken, deren Länge mit der gesuchten Kreisquadratseite a übereinstimmt.

Wie ich zu einer dieser Strecken gelangte, wird im Folgenden erläutert.

Das innere Quadrat des Ausgangskreises lässt sich mithilfe bereits vorhandener Schnittpunkte konstruieren. In der Erklärungsgrafik sind beispielhaft die Schnittpunkte S1 und S2 markiert. Sie entstehen durch die Überlagerung des achsenparallelen und des gedrehten Quadrats sowie durch die Diagonalen des äußeren achsenparallelen Quadrats.

Schritte der Beweisführung für die korrekte Länge der ermittelten Seite a des kreisflächengleichen Quadrats

1. Mithilfe der Schnittpunkte S1 und S2 wird das innere Quadrat im Ausgangskreis konstruiert.
2. Von S1 wird eine Verbindungslinie zum Seitenmittelpunkt S3 der oberen Seite dieses inneren Quadrats gezogen. Diese Linie schneidet die Durchmesserlinie des Ausgangskreises.
3. Der dadurch entstehende Schnittpunkt S4 erweist sich als entscheidender Lösungspunkt. Er liegt auf einer horizontalen Linie. Wird S4 mit dem linken Eckpunkt des um 45° gedrehten Quadrats verbunden, ergibt sich eine Strecke, deren Länge mit der gesuchten Kreisquadratseite identisch ist.
4. Vom linken Eckpunkt des gedrehten Quadrats wird die Verbindungslinie zu S4 gezeichnet.
5. Mit dieser Strecke wird das kreisflächengleiche Quadrat konstruiert.

Die Länge dieser Strecke entspricht exakt der Länge der Seite a des Kreisquadrats.

Die Entdeckung der entsprechenden Strecke erfolgte nicht durch zusätzliche Hilfskonstruktionen oder frei gewählte Punkte, sondern durch die Untersuchung bereits vorhandener Schnittpunkte und ihrer geometrischen Beziehungen.

Die gesuchte Strecke ergibt sich aus der Konstruktion selbst. Die vorliegende Arbeit stellt diesen Zusammenhang dar und zeigt den Weg von den erzeugten Schnittpunkten bis zur Konstruktion eines kreisflächengleichen Quadrats.