vorläufige Forschungsnotiz

$${\tau }_{\text{align}}={\tau }_{\text{align}}(r,{\phi }_A)$$

Das magnetische Ausrichtungs‑Drehmoment: A erzeugt ein Drehmoment auf B, das B in die anziehende Orientierung bringen will. Es hängt nur von Abstand $r$ und Orientierung ${\phi }_A$ ab.

$$\alpha =k_{\alpha }[{\tau }_{\text{align}}-{\tau }_g{]}_{+}$$

Der Kippansatz der Dipolachse: B würde sich vollständig in die anziehende Lage drehen, aber sein Eigengewicht ${\tau }_g$ verhindert das. Es bleibt nur ein Rest‑Kippwinkel $\alpha$ übrig. Dieser Kippansatz ist die Quelle der späteren Rotation.

$${\omega }_B=k_{\omega }\alpha$$

Aus dem Kippansatz wird Rotation: Der Kippversuch wird nicht ausgeführt, sondern in eine Rotation umgelenkt. Je größer $\alpha$, desto größer die Rotationsgeschwindigkeit ${\omega }_B$.

$$\mathrm{sgn}({\omega }_B)=-\mathrm{sgn}({\phi }_A)$$

Drehrichtung: B dreht immer entgegengesetzt zur Orientierung von A. Das ist die reine Richtungsregel.

$$v_{B,\parallel }=k_v{\omega }_B$$

Bahnbewegung entsteht aus der Rotation: B bewegt sich nicht durch Schieben, sondern weil seine Rotation eine taumelnde Rollkomponente erzeugt. Die translatorische Geschwindigkeit ist proportional zu ${\omega }_B$.

$$0<v_{B,\parallel }<v_A$$

Kinematische Bedingung für das „Hinterherlaufen“ von A: A muss immer ein kleines Stück schneller sein als B, damit die radiale Abstoßung nie abreißt und B ständig neu in die ungünstige Lage gedrückt wird.

💡 Ergebnis

Dieses System bildet genau das ab, was ich beobachte:

📘 Durchgehende Textpassage zur Bewegung von B

Die Bewegung von B entsteht aus einem Zusammenspiel von magnetischem Ausrichtungsversuch, Gewichtseinfluss, Rotation und einer daraus abgeleiteten Bahnbewegung. Zunächst erzeugt A ein magnetisches Drehmoment auf B, das B in die anziehende Orientierung bringen möchte. Dieses Ausrichtungs‑Drehmoment hängt ausschließlich vom Abstand $r$ und der Orientierung ${\phi }_A$ ab:

$${\tau }_{\text{align}}={\tau }_{\text{align}}(r,{\phi }_A)$$

Da B jedoch aufrecht steht, kann er dieser Ausrichtungsbewegung nicht vollständig folgen. Sein Eigengewicht erzeugt ein Gegendrehmoment ${\tau }_g$, das das vollständige Kippen verhindert. Es bleibt lediglich ein kleiner Rest‑Kippwinkel $\alpha$ übrig, der den unvollständigen Ausrichtungsversuch repräsentiert:

$$\alpha =k_{\alpha }[{\tau }_{\text{align}}-{\tau }_g{]}_{+}$$

Dieser Kippansatz wird nicht ausgeführt, sondern in eine Rotation umgelenkt. Die Rotationsgeschwindigkeit von B ist daher proportional zu diesem Rest‑Kippwinkel:

$${\omega }_B=k_{\omega }\alpha$$

Die Drehrichtung ergibt sich unmittelbar aus der Orientierung von A: B dreht stets entgegengesetzt zur Richtung, in der A geneigt ist.

$$\mathrm{sgn}({\omega }_B)=-\mathrm{sgn}({\phi }_A)$$

Aus der Rotation entsteht schließlich die Bahnbewegung von B. Diese Bewegung ist keine Folge eines mechanischen Schiebens, sondern ergibt sich aus der taumelnden Rollkomponente, die durch die Rotation hervorgerufen wird:

$$v_{B,\parallel }=k_v{\omega }_B$$

Damit A B kontinuierlich in der ungünstigen Lage halten und den Ausrichtungsversuch immer wieder neu anregen kann, muss A sich stets ein kleines Stück schneller bewegen als B. Nur so bleibt die radiale Abstoßwirkung erhalten und die Rotation sowie die daraus resultierende Bahnbewegung werden aufrechterhalten:

$$0<v_{B,\parallel }<v_A$$

📘 Das C–B‑Rotationsgesetz (endgültige Fassung)

(für anziehend gepolte Scheibenmagnet‑Türme C über B)

1. Systembeschreibung

• C: ein Turm aus zwei Scheibenmagneten, fixiert in einer Schale, die vom Drehteller mitgeführt wird
• B: ein Turm aus zwei Scheibenmagneten, frei beweglich auf der Bahn unter C
• Polung: C und B sind anziehend gepolt
• Drehteller: bewegt C auf einer Kreisbahn, B bleibt unten frei

2. Grundprinzip des C–B‑Rotationsgesetzes

Die Rotation von B entsteht nicht durch Kippen (wie im A–B‑System), sondern durch eine anziehende Kreuzkraft von C auf B:

• vertikale Komponente: zieht B leicht nach oben
• tangentiale Komponente: zieht B in Laufrichtung des Drehtellers mit

Diese Kreuzkraft erzeugt bei B eine rollende Rotation auf der Bahn, solange der Abstand zwischen C und B im richtigen Bereich liegt.

3. Das Abstandsfenster

Die Rotation von B tritt nur auf, wenn der Abstand $d$ zwischen C und B in einem bestimmten Bereich liegt:

$$d_{\text{min}}<d<d_{\text{max}}$$

• Wenn $d<d_{\text{min}}$: C kommt zu nah → die Anziehung wird stark → B springt nach oben an C heran.
• Wenn $d>d_{\text{max}}$: C ist zu weit weg → die tangentiale Komponente reicht nicht → B wird nicht mehr rotierend mitgeführt.

Dieses Abstandsfenster ist entscheidend für die Existenz der Rotation.

4. Warum B rollt und nicht geschoben wird

C ist durch die Drehtellerbewegung immer ein kleines Stück voraus. Dadurch kann B nie exakt parallel unter C stehen.

Das bedeutet:

• B steht immer leicht „schräg hinterher“
• dadurch entsteht ein tangentiales Drehmoment
• dieses Drehmoment erzeugt Rollbewegung, nicht Schieben

Wenn B exakt parallel unter C stehen würde (z. B. im Stillstand), würde B nur geschoben werden — aber nicht rollen.

Die minimale Vorlaufposition von C ist daher notwendig für die Rotation.

5. Einfluss weiterer C‑Magnete

Die Drehrichtung und Geschwindigkeit von B hängen von der Feldgeometrie ab:

• ein einzelner C: B rotiert in Laufrichtung des Drehtellers
• ein zusätzlicher C „vorne“ (in Drehtellerrichtung): der azimutale Gradient kehrt sich um → B rotiert entgegengesetzt zur Drehtellerlaufrichtung
• zusätzliche C links und rechts: der azimutale Gradient wird stärker → B rotiert schneller
• zwei getrennte C–B‑Paare: bei symmetrischer Geometrie rotieren beide B gleich herum bei asymmetrischer Verstärkung kehrt sich die Drehrichtung nur beim verstärkten Paar um

6. Kompakte Formelstruktur

$${\vec{F}}_C(r,\theta )=F_{C,r}{\widehat{e}}_r+F_{C,\theta }{\widehat{e}}_{\theta }+F_{C,z}{\widehat{e}}_z$$

• Vertikale Komponente:

$$F_{C,z}(d)\text{ bestimmt, ob B im Abstandsfenster bleibt}$$

• Tangentiale Komponente (treibt die Rotation):

$${\tau }_{C,B}(\theta )\propto F_{C,\theta }(r,\theta )$$

• Rotationsgeschwindigkeit:

$${\omega }_B=k_C{F}_{C,\theta }^{\text{eff}}$$

• Drehrichtung:

$$\mathrm{sgn}({\omega }_B)=\mathrm{sgn}\left(F_{C,\theta }^{\text{eff}}\right)$$

7. Kurzfassung des Gesetzes

Ein B‑Magnet rotiert unter einem anziehenden C‑Magneten rollend auf der Bahn, wenn der Abstand im richtigen Fenster liegt und C durch die Drehtellerbewegung minimal voraus ist. Die Drehrichtung und Stärke der Rotation werden allein durch die azimutale Feldgeometrie der C‑Magnete bestimmt.