(entspricht den eingekreisten Zahlen der Grafik)
① Ausgangsfigur: Der Inkreis
Die Konstruktion beginnt mit einem frei gezeichneten Inkreis. Er liefert:
- den Mittelpunkt M₁,
- den Radius r₁,
- die Ausgangsfläche, zu der später ein flächengleiches Quadrat konstruiert wird.
Der Inkreis ist die Grundfigur, aus der die gesamte Quadratur entwickelt wird.
② Quadrat₁ – achsparalleles Quadrat um den Inkreis
Um den Inkreis wird ein achsparalleles Quadrat konstruiert. Es definiert:
- die Seitenlänge a₁,
- die horizontale und vertikale Orientierung der Konstruktion,
- den Eckpunkt D, der später Ausgangspunkt der roten Linie wird.
Quadrat₁ bildet die lineare Basisstruktur der Quadratur.
③ Quadrat₂ – gedrehtes Quadrat (45°)
Ein zweites, kongruentes Quadrat wird um 45° gedreht über Quadrat₁ gelegt. Es liefert:
- die Diagonale e₂,
- die charakteristische Schräge der Konstruktion,
- die Schnittpunkte mit Quadrat₁,
- die Grundlage für die spätere Differenzbildung.
Quadrat₂ erzeugt die metrische Abweichung, die für die Quadratur entscheidend ist.
④ Die dia‑cut‑line – horizontale Schnittlinie der Diagonale
Die Diagonale des gedrehten Quadrats schneidet das achsparallele Quadrat. Dabei entsteht die dia‑cut‑line, die:
- die Differenz zwischen a₁ und e₂ trägt,
- die Grundlage für die Halbierung durch die S‑Linie bildet,
- die vertikale Komponente der späteren Richtungsstruktur vorbereitet.
Sie ist die erste Schnittstruktur der Konstruktion.
⑤ Die S‑Linie – symmetrierende Senkrechte
Die S‑Linie wird konstruiert als:
- Senkrechte durch den Punkt S₁,
- Schnitt mit Quadrat₂ in S₂,
- Halbierung der dia‑cut‑line.
Sie erzeugt den vertikalen Versatz:
Die S‑Linie stabilisiert die Quadratdifferenz und bildet die symmetrische Achse der Konstruktion.
⑥ Punkt N – durch die gedrehte Struktur bestimmt
Der Punkt N entsteht durch die Kombination aus:
- der S‑Linie,
- der dia‑cut‑line,
- der gedrehten Quadratstruktur.
Er besitzt die Koordinaten:
N ist der Endpunkt der roten Konstruktionslinie.
⑦ Die rote Konstruktionslinie D–N – Richtungsstruktur
Die Strecke D–N wird gezeichnet. Sie ist die erste maßstabsinvariante Struktur der Quadratur.
Ihre Komponenten:
- horizontale Komponente:
- vertikale Komponente:
Die Steigung lautet:
Diese Linie überführt die Quadratdifferenz in eine gerichtete geometrische Struktur.
⑧ Der Hilfskreis um N – Radialisierung der Strecke D–N
Um die schräg verlaufende Strecke D–N in eine horizontal nutzbare Länge zu überführen, wird der Zirkel:
- an N angesetzt,
- auf die Länge der Strecke D–N geöffnet,
- und schlägt einen Kreis um N.
Damit wird die Strecke D–N:
- zu einem Radius,
- aus der Schräge herausgelöst,
- metrisch eindeutig nutzbar.
Der Hilfskreis bildet die Brücke zwischen Linie und Kreis.
⑨ Horizontalisierung des Radius – Überführung in eine nutzbare Länge
Die Kreisweite (D–N) wird nun horizontal abgegriffen. Damit entsteht die metrisch nutzbare Länge, die später die Quadratseite bildet.
Dieser Schritt verbindet:
- die Differenz der Quadrate,
- die S‑Linie,
- die Richtungsstruktur D–N,
- die Radiusbildung durch den Hilfskreis.
Er ist der Übergang von der Quadratwelt in die Kreiswelt.
⑩ Quadrat₄ – das kreisflächengleiche Quadrat
Die horizontal abgegriffene Radiuslänge wird als Seitenlänge eines Quadrats verwendet. Dieses Quadrat besitzt die Seite:
Quadrat₄ ist flächengleich zum Inkreis und bildet den Abschluss der Quadratur.
Abschließende Zusammenfassung der grafischen Reihenfolge
- Inkreis
- Quadrat₁
- Quadrat₂
- dia‑cut‑line
- S‑Linie
- Punkt N
- Rote Linie D–N
- Hilfskreis um N
- Horizontalisierung des Radius
- Kreisflächengleiches Quadrat
