Einleitung
Es besteht kein Anlass zum Zweifeln hinsichtlich einerseits der hier formulierten Behauptung und andererseits der verbreiteten Aussage, die Quadratur des Kreises sei unmöglich.
Der bekannte Unmöglichkeitsbeweis betrifft ausschließlich die verengte Problemdefinition gemäß Lindemann, die auf der Transzendenz der Kreiszahl π basiert und damit lediglich die algebraische Nicht‑Konstruierbarkeit der Zahl √π zeigt.
Ein Beweis, der eine geometrische Quadratur des Kreises im Sinne einer rein konstruktiven Herleitung ausschließt, existiert nicht. Nach einschlägiger Literatur ist eine solche geometrische Konstruktion bislang nicht gelungen; die hier vorgelegte Lösung beansprucht daher Neuheitscharakter. Eine unabhängige Überprüfung dieser Behauptung ist ausdrücklich willkommen.
Ziel dieser Konstruktion, die nur eine von mehreren ist, war die geometrische Bestimmung der Quadraturseite
für einen gegebenen Ausgangskreis (der innere von beiden) mit Zirkel, Bleistift und Lineal ohne Markierung. Die Konstruktion erfolgt ausschließlich mit diesen klassischen euklidischen Werkzeugen. Die Vorgehensweise basiert auf einem Hilfsquadrat, dessen Hilf-Inkreis (dem Ausgangskreis zur Quadratur) und einem äußeren Hilfskreis mit geregeltem Abstand. Aus dem äußeren Kreis sind implizit definierte Markierungspunkte zu markieren, die zur Quadratur genutzt wurden zwecks Konstruktion der Seite a der Quadratur und der gesamten Kreisquadratur.
2. Methodik
Die Konstruktion verwendet fundamentale euklidische Operationen.
Der größere Hilfs‑Inkreis dient der Erzeugung relevanter Kardinalpunkte und exakter Kreislinienteilung.
Der innere Kreis dient als Ausgangskreis für die Quadratur.
3. Definitionen
M – Mittelpunkt beider Kreise und beider Quadrate.
N, S, W, O – Kardinalpunkte des Hilfs‑Inkreises.
Eckp. – Eckpunkt des Hilfsquadrats (viermal); Schnittpunkt der Diagonalen von außen nach innen von von 45° mit Schnittpunkt in M.
S₁ – Erster abgetragener Kreispunkt rechts von N.
S₂ – Dritter abgetragener Kreispunkt links von N, von N aus gezählt.
S₃ – Schnittpunkt der Geraden S₁–S₂ mit dem kurzen Diagonalabschnitt ausgehend von Eckp..
h₁ Halbierungspunkt des Kreisbogens zwischen W und S₂.
h₂ Nächster Kreispunkt links neben N.
S₄ Mittelpunkt der Strecke Eckp.–S₃; Schnittpunkt der Geraden h₁–h₂ mit dieser Strecke. Gleichzeitig: oberer linker Eckpunkt D des Kreisquadrats.
C, A, B Weitere Eckpunkte des Kreisquadrats.
a = r\sqrt{\pi} Quadraturseite.
Hauptkreis – Kreis mit Radius = Abstand zwischen M und Seite a des Hilfsquadrats, das gleichzeitig das Um-Quadrat des inneren kleineren Ausgangskreis der Quadratur ist.
4. Konstruktion
① Bestimmung des Mittelpunkts M – Konstruktion einer horizontalen Basislinie am Blattrand unten und ihrer Mittelsenkrechten. Schnittpunkt = M. Ergänzung einer Horizontalen durch M.
② Äußerer größerer Hilfs‑Inkreis – Radius = Abstand M zur Basislinie. Kreis um M schlagen. Bestimmung der Kardinalpunkte N, S, W, O.
③ Hilfsquadrat – Konstruktion der Diagonallinien von 45°, mit Schnittpunkt in M. Eckp. liegt 4mal auf dem größeren äußeren Hilfs-Inkreis zusammen mit den Punkten N, S, W und O.
④ Teilung des großn Hilfs-Inkreisbogens in theoretisch 4 mal 4 gleichgroße Kreislinienabschnitte durch Abtragung eines Sechszehntels entlang des Kreisbogens nur so oft wie notwendig.
⑤ Punkte S₁ und S₂ – Erster verwendeter Punkt rechts von N = S₁. Zweiter Punkt links von N = S₂.
⑥ Gerade S₁–S₂ – Zeichnung der Geraden durch S₁ und S₂.
⑦ Diagonale des Hilfsquadrats -Zeichnung eines nur kurzen Diagonalabschnitts, viermal, ausgehend von jedem Eckpunkt des Hilfsquadrats und Hilfs-Inkreises.
⑧ Schnittpunkt S₃ – Schnittpunkt der Diagonale mit S₁–S₂ = S₃.
⑨ Halbierung von Eckp.–S₃ – Halbierung des Abstands W–S₂ → h₁. Bestimmung des nächsten Kreispunkts links neben N → h₂. Gerade h₁–h₂ schneidet Eckp.–S₃ im Mittelpunkt → S₄.
⑩ Quadraturpunkt D – S₄ entspricht nicht dem oberen linken Punkt namens „Eckp.“, sondern dem Eckpunkt D gegenüberliegend zum rechten Eckpunkt C des erhaltenen Kreisquadrats.
⑪ Quadraturpunkt C – Spiegelkonstruktion auf der rechten Kreishälfte → C. Alternativ über Zirkelabtragung um M als Zirkelmittelpunkt.
⑫ Quadraturseite a – Verbindung D–C ergibt die erste Seite der Quadraturseite gemäß:
⑬ Vervollständigung der Quadratur – Zirkelabtragung dieser ersten Seite a zur Bestimmung auch der Punkte A und B und somit der drei übrigen Seiten a der Quadratur. – Schließen des Quadrats.
5. Ergebnis
Die Konstruktion liefert die Quadraturseite
durch rein euklidische Operationen. Die Punkte A, B, C und S₄ (D) definieren das kreisflächengleiche Quadrat.
6. Schlussfolgerung
Die Konstruktion zeigt, dass die Quadraturseite eines Kreises durch eine Folge klassischer euklidischer Schritte bestimmt werden kann, die ausschließlich auf Zirkel‑ und Linealoperationen beruhen. Die Verwendung eines Hilfsquadrats und seines Hilfs-Inkreises ermöglicht die eindeutige Bestimmung der relevanten Punkte und Schnittpunkte zwecks Erzeugen von Linienverbindungen und gewährleistet die geometrische Stabilität der Konstruktion.
