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Anmerkung/Änderung: Die Bezeichnungen, wie S1 bis S4 und andere werden demnächst überarbeitet mit dem Ziel der Vereinheitlichung auf allen veröffentlichten Seiten.
Einleitung
Der bekannte Unmöglichkeitsbeweis bezüglich der Quadratur des Kreises betrifft ausschließlich die verengte Problem-Definition gemäß Lindemann, die auf der Transzendenz der Kreiszahl π basiert und damit lediglich die algebraische Nicht‑Konstruierbarkeit der Zahl √π zeigt.
Ein Beweis, der eine geometrisch konstruierte Quadratur des Kreises im Sinne einer rein konstruktiven Herleitung ausschließt, existiert nicht. Nach einschlägiger Literatur ist eine solche geometrische Konstruktion bislang nicht gelungen; die hier vorgelegte Lösung beansprucht daher Neuheitscharakter. Eine unabhängige Überprüfung dieser Behauptung ist ausdrücklich willkommen.
Ziel dieser Konstruktion, die nur eine von mehreren ist, war die geometrische Bestimmung der Quadraturseite
für einen gegebenen Ausgangskreis mit Zirkel, Bleistift und Lineal ohne Markierung. Anschließend grafisch mithilfe von Paint (Windows 10) dokumentiert. Die nicht am PC erzeugte Konstruktion erfolgt ausschließlich mit klassischen euklidischen Werkzeugen. Die Vorgehensweise basiert auf einer Hilfskonstruktion bestehend aus Quadraten und Kreisen und zwecks Schnittpunkterzeugung gedrehten Quadraten. Der äußere Kreis ist in grundsätzlich mindestens 16 gleichgroße Abschnitte unterteilt, die zur Quadratur genutzt wurden zwecks Konstruktion der Seite a der Quadratur sowie der gesamten Quadratur.
2. Methodik
Der größere Hilfs‑Inkreis dient der Erzeugung relevanter Kardinalpunkte und exakter Kreislinienteilung.
Der innere Kreis dient mit seiner Radiuslänge als Ausgangskreis für die Quadratur.
3. Definitionen
M – Mittelpunkt aller Figuren – wie Kreise und Quadrate – der Konstruktion.
N, S, W, O – 4 Haupt-Kardinalpunkte des Hilfs‑Inkreises.
Eckp. – Eckpunkt des Hilfsquadrats (viermal); ermöglicht den Schnittpunkt der Diagonalen von außen nach innen von 45° mit Schnittpunkt in M.
S₁ – Erster abgetragener Kreispunkt rechts von N.
S₂ – Dritter abgetragener Kreispunkt links von N, von N aus gezählt.
S₃ – Schnittpunkt der Geraden S₁–S₂ mit dem kurzen Diagonalabschnitt ausgehend von Eckp..
h₁ Halbierungspunkt des Kreisbogens zwischen W und S₂.
h₂ Nächster Kreispunkt links neben N.
S₄ Mittelpunkt der Strecke Eckp.–S₃; Schnittpunkt der Geraden h₁–h₂ mit dieser Strecke. Gleichzeitig: oberer linker Eckpunkt D des Kreisquadrats.
C, A, B Weitere Eckpunkte des Kreisquadrats.
a = r\sqrt{\pi} Quadraturseite.
Hauptkreis – Kreis mit Radius = Abstand zwischen M und Seite a des Hilfsquadrats, das gleichzeitig das Um-Quadrat des inneren kleineren Ausgangskreis der Quadratur ist.
4. Konstruktion
① Bestimmung des Mittelpunkts M – Konstruktion einer horizontalen Basislinie am Blattrand unten und ihrer Mittelsenkrechten. Schnittpunkt = M. Ergänzung einer Horizontalen durch M.
② Äußerer größerer Hilfs‑Inkreis – Radius = Abstand M zur Basislinie. Kreis um M schlagen. Bestimmung der Kardinalpunkte N, S, W, O.
③ Hilfsquadrat – Konstruktion der Diagonallinien von 45°, mit Schnittpunkt in M. Eckp. liegt 4mal auf dem größeren äußeren Hilfs-Inkreis zusammen mit den Punkten N, S, W und O.
④ Teilung des großn Hilfs-Inkreisbogens in theoretisch 4 mal 4 gleichgroße Kreislinienabschnitte durch Abtragung eines Sechszehntels entlang des Kreisbogens nur so oft wie notwendig.
⑤ Punkte S₁ und S₂ – Erster verwendeter Punkt rechts von N = S₁. Zweiter Punkt links von N = S₂.
⑥ Gerade S₁–S₂ – Zeichnung der Geraden durch S₁ und S₂.
⑦ Diagonale des Hilfsquadrats -Zeichnung eines nur kurzen Diagonalabschnitts, viermal, ausgehend von jedem Eckpunkt des Hilfsquadrats und Hilfs-Inkreises.
⑧ Schnittpunkt S₃ – Schnittpunkt der Diagonale mit S₁–S₂ = S₃.
⑨ Halbierung von Eckp.–S₃ – Halbierung des Abstands W–S₂ → h₁. Bestimmung des nächsten Kreispunkts links neben N → h₂. Gerade h₁–h₂ schneidet Eckp.–S₃ im Mittelpunkt → S₄.
⑩ Quadraturpunkt D – S₄ entspricht nicht dem oberen linken Punkt namens „Eckp.“, sondern dem Eckpunkt D gegenüberliegend zum rechten Eckpunkt C des erhaltenen Kreisquadrats.
⑪ Quadraturpunkt C – Spiegelkonstruktion auf der rechten Kreishälfte → C. Alternativ über Zirkelabtragung um M als Zirkelmittelpunkt.
⑫ Quadraturseite a – Verbindung D–C ergibt die erste Seite der Quadraturseite gemäß:
⑬ Vervollständigung der Quadratur – Zirkelabtragung dieser ersten Seite a zur Bestimmung auch der Punkte A und B und somit der drei übrigen Seiten a der Quadratur. – Schließen des Quadrats.
5. Ergebnis
Die Konstruktion liefert die Quadraturseite
durch rein euklidische Operationen. Die Punkte A, B, C und S₄ (D) definieren das kreisflächengleiche Quadrat.
6. Schlussfolgerung
Die Konstruktion zeigt, dass die Quadraturseite eines Kreises durch eine Folge klassischer euklidischer Schritte bestimmt werden kann, die ausschließlich auf Zirkel‑ und Linealoperationen beruhen. Die Verwendung mindestens eines Hilfsquadrats und seines Hilfs-Inkreises ermöglicht die eindeutige Bestimmung der relevanten Punkte und Schnittpunkte zwecks Erzeugen von Linienverbindungen und gewährleistet die geometrische Stabilität der Konstruktion.
Ergänzend folgt eine Grafikdokumentation mit Paint von Windows 10 erstellt. Sie zeigt außer der konstruierten Kreisquadrat-Seite a auch die konstruierte Viertelkreislänge auf. Der Ausgangskreis hat real d = 1000 und die Kreisquadrat-Seite a = 886,226. Paint zeigt die Maße nur in Pixel an, nicht als Kommazahl.
