Die Konstruktion der Seite a des kreisflächengleichen Quadrats und darüber hinaus der Quadratur selbst.

Ich beschreibe gerne, wie es mir gelingt, die Seite a des kreisflächengleichen Quadrats zu konstruieren.

Vorweg sei Folgendes angemerkt:

Die von Lindemann bewiesene Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises betrifft die Konstruktion über die Kreiszahl π. Sie stellt jedoch keinen Gegenbeweis gegen jede denkbare geometrische Vorgehensweise dar. Nach der einschlägigen Literatur ist eine erfolgreiche geometrische Konstruktion der Kreisquadratur dennoch weder den bekannten Mathematikern der Antike noch späteren Gelehrten gelungen.

Behaupte ich also zu Unrecht einen Erfolg, oder ist es mir tatsächlich gelungen, einen geometrischen Weg zur Konstruktion der Kreisquadratur zu finden?

Eurer Prüfung und Überprüfung sehe ich mit Interesse entgegen.

Solltet ihr meine Arbeit zitieren, weitergeben oder besprechen, bitte ich darum, meinen vollständigen Namen zu nennen:

Elisabeth Becker-Schmollmann

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Konstruktion

Mit Zirkel, Bleistift und markierungsfreiem Lineal gehe ich wie folgt vor:

Zunächst wähle ich eine beliebige Radiuslänge und stelle den Zirkel entsprechend ein.

Anschließend zeichne ich mit ausreichendem Abstand zum unteren Blattrand eine horizontale Gerade und markiere auf ihr links den Punkt P₁​.

Mit der Zirkelspitze im Punkt P₁​ trage ich die gewählte Radiuslänge zweimal hintereinander auf der Geraden ab. Dadurch entsteht die Strecke P₁​,P₂​, deren Länge dem doppelten Radius entspricht. Der Mittelpunkt dieser Strecke ist damit eindeutig bestimmt.

Durch diesen Mittelpunkt errichte ich eine Senkrechte zur Strecke P₁​,P₂​. Auf dieser Senkrechten trage ich nach oben und nach unten jeweils dieselbe Radiuslänge ab.

Durch den so bestimmten Mittelpunkt zeichne ich nun eine waagerechte Gerade. Der Schnittpunkt beider Geraden bildet gleichzeitig den Mittelpunkt des Ausgangskreises.

Mit dem ursprünglich gewählten Radius konstruiere ich den Kreis.

Sein Durchmesser entspricht der Seitenlänge des anschließend um den Kreis gelegten Hilfsquadrates. Für die weitere Konstruktion wird dieser Kreis vorübergehend als Inkreis des Hilfsquadrates betrachtet.

Nun zeichne ich das Hilfsquadrat und ergänze dessen beide Diagonalen.

Anschließend setze ich die Zirkelspitze wieder in den gemeinsamen Mittelpunkt und vergrößere den Radius bis zu einer Ecke des Quadrates. Mit diesem Radius zeichne ich einen zweiten Kreis, der durch alle vier Eckpunkte des Quadrates verläuft.

Die beiden Mittellinien des Quadrates werden nun über dessen Seiten hinaus verlängert, bis sie den größeren Kreis schneiden.

Die vier Schnittpunkte verbinde ich miteinander.

Dadurch entsteht ein zum ursprünglichen Quadrat kongruentes Quadrat, das gegenüber dem ersten um 45° gedreht ist. Seine Diagonalen schneiden die Seiten des ersten Quadrates in deren Mittelpunkten. Gerade diese Konstruktion erzeugt die benötigten Schnittpunkte und Eckenabstände zwischen gedrehtem Quadrat und Seitenmitten, ohne die die Konstruktion der gesuchten Seite des kreisflächengleichen Quadrats nicht möglich wäre.

So geht es weiter: Durch die nun vorhandenen 8 Ecken beider Quadrate ziehe ich einen nächsten Kreis. Interessant ist dabei die Tatsache, dass der Abstand dieser Kreislinie wie auch der Abstand der Ecken des gedrehten Quadrats die Hälfte beträgt von der Differenz zwischen Quadratseite und Diagonallänge. Wenn dieser Abstand auch nur ein wenig anders wäre, würde die später konstruierte Seite a des kreisflächengleichen Quadrats nicht die korrekte Länge ergeben können.

Diesen größeren das gedrehte Quadrat umschließenden Kreis teile ich in gedacht 16 exakt gleiche Kreislinienabstände ein, zu je 22,5°. Ich benötige aber nur 5 von 16 oder genauer beschrieben nur 4 und eine weitere Hälfte von 22,5°.

Oben mittig markiere ich die Kreislinie mit 90°, links mittig 0°. Oben rechts neben 90° markiere ich einen Hilfspunkt Punkt bei 112,5° und zeichne einen weiteren von mir konstruierten Punkt als Verbindungspunkt bei 11,25° ein, der Hälfte zwischen Null und 22,5°. Ich verbinde beide miteinander und schneide mit dieser gezeichnete Linie automatisch die Diagonale des geraden Quadrats links oben, die nach rechts unten führt. Denn damit habe ich den entscheidenden Lösungspunkt erfolgreich erhalten, der sich als einen der vier Ecken der zu ermittelnden Quadrats erweist.

Ich habe nun mindestens zwei weitere Möglichkeiten, um die übrigen 3 Eckpunkte auf gleiche Weise zu konstruieren. Entweder wiederhole ich das eben Beschriebene noch 3 Male – rechts oben, links unten und rechts unten, oder ich gehe eleganter vor, nämlich: Ich setze den Zirkel in den gemeinsamen Mittelpunkt und stelle den Radius so ein, dass er die Strecke abträgt zwischen Mittelpunkt und dem soeben konstruierten Eckpunkt/Lösungspunkt links oben. Ich ziehe den Kreisbogen nun dort, wo er die übrigen 3 Diagonalen des ersten Quadrates schneidet und habe alle vier relevanten Ecken erhalten. Die vier gezogenen Linien lassen die gesuchte Quadratur entstehen, wobei der passende Kreis bereits da ist und das Quadrat sich per Konstruktion wie fast von selbst darüber gelegt hat.

Ich zeige dies im Folgenden per Grafik noch deutlicher erklärend, wo die Quadratur genau und wodurch sie erscheint. Die Hilfskonstruktion benötigt nur die oben beschriebenen geometrischen Figuren, auch wenn die Grafik grundsätzlich weitere enthält. Was noch oben unerwähnt blieb, ist die zusätzlich ermittelte Länge des Viertelkreises und entspricht in der Grafik der roten Linie. Auf den konstruierten Lösungspunkt S₁ zur Quadratur, grün eingekreist, zeigt der schwarze Pfeil links oben in der Grafik.

Die klassische Zeichnung mit Zirkel und Bleistift und markierungsfreiem Lineal folgt in Kürze.