Dynamik der B‑Einheit mit und ohne konvexe Magnetbasis

Quelle des Kippmoments: blockiertes Polspringen

Wenn A im magnetisch abstoßenden Modus hinter B hergeführt wird, versucht B, in den anziehenden Modus zu kippen (Polspringen). B möchte sich zu A hin ausrichten, kann dies jedoch nicht vollständig ausführen, weil:

• A stets hinter B bleibt und sich auf B zubewegt
• B sich aufgrund seines Eigengewichts nicht ausreichend anheben kann, um tatsächlich zu A hin zu kippen

Dadurch entsteht ein blockiertes Polspringen: B schafft nur den Ansatz der Kippbewegung, nicht den vollständigen Übergang.

Das magnetische Drehmoment, das B zum Polspringen bringen möchte, lautet:

$${\tau }_{\text{mag}}(r,{\phi }_A)$$

Das Gegenmoment durch Gewicht und Auflage:

$${\tau }_{\text{grav}}=m_{B}g{r}_{\text{Kontakt}}$$

Das effektive Kippmoment ergibt sich zu:

$${\tau }_{\text{Kipp}}(t)={\tau }_{\text{mag}}(r(t),{\phi }_A(t))-{\tau }_{\text{grav}}$$

Bedingung für nur Kippstellung, kein Polspringen:

$$0<{\tau }_{\text{mag}}<{\tau }_{\text{grav}}$$

Ist B zu leicht, kann ${\tau }_{\text{mag}}>{\tau }_{\text{grav}}$ werden → Polspringen gelingt.

Aus dem Kippmoment entsteht über die Geometrie (Achsneigung, Kontaktpunkt) die tangentiale Drehmomentkomponente:

$${\tau }_{\text{tan}}(t)=f_{\text{geom}}(\alpha ,{\phi }_A){\tau }_{\text{Kipp}}(t)$$

Diese ${\tau }_{\text{tan}}(t)$ ist das treibende Drehmoment, das B in Rotation versetzt.

Drehgleichung während des Draufzuführens

Solange A auf dem Drehteller hinter B hergeführt wird, erhält B eine kontinuierliche Folge gepulster Drehmomente. Die Dynamik lautet:

$$I_B\frac{d{\omega }_B(t)}{dt}={\tau }_{\text{tan}}(t)$$

Dies gilt identisch:

• ohne konvexe Basis
• mit konvexer Basis

Die Rotationsenergie während des Antriebs ist:

$$E_{\text{rot},B}(t)=\frac{1}{2}{I}_B{\omega }_B^2(t)$$

Solange A hinter B bleibt, rotiert B stabil, weil die Impulse ununterbrochen eintreffen — wie die Räder einer Schubkarre, die nur rollen, solange Schritte erfolgen.

Verhalten nach Ende des Draufzuführens ohne konvexe Basis

Die Umlaufbahn von B ist der Boden. Wenn der Drehteller stoppt, endet das aktive Draufzuführen von A auf B. Damit entfällt das treibende Drehmoment vollständig.

Formal:

• während des Antriebs:

$$I_B\frac{d{\omega }_B}{dt}={\tau }_{\text{tan}}(t)$$

• nach dem Abschalten:

$${\tau }_{\text{tan}}(t)=0\Rightarrow {\omega }_B(t>t_{\text{off}})\approx 0$$

Das bedeutet:

• B rotiert nur, solange A hinter B hergeführt wird
• Sobald das Draufzuführen endet, stoppt B sofort
• Es gibt keinen Nachlauf, da keine konvexe Basis vorhanden ist, die Rotationsenergie tragen könnte

Die Rotation ist also rein angetrieben, nicht gespeichert.

Verhalten nach Ende des Draufzuführens mit konvexer Magnetbasis

Während des Antriebs gilt dieselbe Gleichung:

$$I_B\frac{d{\omega }_B}{dt}={\tau }_{\text{tan}}(t)$$

Nach dem Abschalten wirkt jedoch eine kreiselartige Stabilisierung durch die konvexe Basis. Die Rotation wird nicht sofort vernichtet, sondern klingt langsam ab:

$$I_B\frac{d{\omega }_B}{dt}=-\gamma {\omega }_B(t)$$

mit sehr kleinem $\gamma$ (praktisch keine Reibung).

Lösung:

$${\omega }_B(t)={\omega }_B(t_{\text{off}})\exp \text{\hspace{0.17em}⁣}(-\frac{\gamma }{I_B}(t-t_{\text{off}}))$$

Damit entsteht ein kurzer Nachlauf, der ohne konvexe Basis nicht existiert.

Kurzfassung

Kippmoment: B möchte zu A hin polspringen, schafft aber nur den Ansatz. Daraus entsteht ein umlaufendes Kippmoment.

Drehgleichung während des Antriebs:

$$I_B\frac{d{\omega }_B}{dt}={\tau }_{\text{tan}}(t)$$

Ohne konvexe Basis: B rotiert stabil, solange A hinter B hergeführt wird. Nach dem Ende des Draufzuführens:

$${\omega }_B(t>t_{\text{off}})\approx 0$$

Mit konvexer Basis: B rotiert stabil während des Antriebs und läuft danach noch kurz nach:

$${\omega }_B(t)={\omega }_B(t_{\text{off}})\exp \text{\hspace{0.17em}⁣}(-\frac{\gamma }{I_B}(t-t_{\text{off}}))$$