Hinweis: Der Hilfskreis außen herum dient den Konstruktionsschritten und ihrer Dokumentation. Ich ließ ihn bewusst deutlich sichtbar zum einfachen Nachvollziehen der folgenden Beschreibung über mein Vorgehen, wie ich die Aufgabe der Quadratur geometrisch gelöst habe.

Ich zeichne klassisch mit euklidischen Werkzeugen: mit Bleistift, Zirkel und markierungsfreiem Lineal.

Ich beginne mit einer horizontalen Basislinie nahe dem unteren Blattrand. Durch Konstruktion der Mittelsenkrechten zu dieser Basislinie erhalte ich eine vertikale Linie. Die beiden Linien schneiden sich im Mittelpunkt M, der später auch Mittelpunkt des Hilfskreises ist. Von M aus konstruiere ich zusätzlich eine horizontale Linie, sodass eine gleichlange Vertikale und Horizontale mit gemeinsamem Mittelpunkt entstehen.

Mit dem Abstand zwischen M und der Basislinie schlage ich einen Kreis um M. Dieser Kreis dient als Hilfs‑Inkreis des späteren Hilfsquadrats und wird zugleich als Basiskreis bezeichnet. Er wird von den beiden Kreuzlinien in den Punkten N (oben), S (unten), W (links) und O (rechts) geschnitten.

Von M aus konstruiere ich eine 45°‑Linie nach links oben. Ihr Schnittpunkt mit dem Basiskreis ist der obere linke Eckpunkt des Hilfsquadrats (Eckp.). Das Hilfsquadrat selbst muss nicht vollständig gezeichnet werden; es genügt, diesen Eckpunkt zu bestimmen.

Ich halbiere nun den Bogenabschnitt zwischen N und dem 45°‑Schnittpunkt und trage diesen halbierten Abstand mit dem Zirkel mehrfach entlang des Kreisbogens ab. Dadurch entstehen zwischen N und W drei neue Schnittpunkte, die den Viertelkreis in vier gleiche Abschnitte teilen; rechts von N entstehen ebenfalls vier Abschnitte. Insgesamt ergeben sich sechzehn gleiche Kreisabschnitte, von denen jedoch nur wenige benötigt werden.

Den ersten Schnittpunkt rechts von N bezeichne ich mit S₁. Den dritten Schnittpunkt links von N, gezählt von N aus in Richtung W, bezeichne ich mit S₂. Die Verbindungslinie S₁–S₂ ist eine schräge Linie, die später die Diagonale des Hilfsquadrats schneiden wird.

Vom Hilfsquadrat zeichne ich nur die linke obere Diagonale, und zwar lediglich ein kurzes Stück ausgehend vom Eckpunkt Eckp. Die Linie S₁–S₂ schneidet diese kurze Diagonalstrecke; der Schnittpunkt heißt S₃.

Ich benötige die Hälfte der Strecke Eckp.–S₃. Dazu konstruiere ich zunächst die Hälfte des Abstands zwischen W und S₂ und bezeichne diesen Punkt auf dem Kreis mit h₁. Den nächsten Schnittpunkt links neben N bezeichne ich mit h₂. Ich verbinde h₁ und h₂ mit einer Geraden. Diese Linie schneidet die Strecke Eckp.–S₃ in ihrem Mittelpunkt. Diesen Schnittpunkt bezeichne ich mit S₄.

Der Punkt S₄ ist der obere linke Eckpunkt D des quadrierten Kreises, also des Kreisquadrats. Er ist der erste der beiden Punkte der gesuchten Seite a = r·√π.

Um den zweiten Punkt dieser Seite zu erhalten, wiederhole ich die Konstruktion spiegelbildlich auf der rechten Kreishälfte. So erhalte ich den rechten Eckpunkt C und verbinde D und C zur ersten Quadraturseite a.

Mit Zirkelabtragung dieser Seite a konstruiere ich die drei übrigen Seiten des Kreisquadrats und erhalte die weiteren Eckpunkte A und B.

Für den Hauptkreis zur Quadratur verwende ich den Abstand zwischen M und der Seite des Hilfsquadrats, deren obere linke Ecke als Eckp. bezeichnet ist. Dieses Hilfsquadrat berührt den Basiskreis in vier Punkten. Der so gewonnene Radius definiert den Kreis, dessen Quadratur ich konstruiere. Dieser Hauptkreis ist nicht identisch mit dem Hilfs‑Inkreis des Hilfsquadrats.

Der Hauptkreis kann sowohl zu Beginn als auch am Ende der Konstruktion gezeichnet werden. Das Hilfsquadrat und sein Hilfs‑Inkreis liefern die notwendigen Diagonalen und Abstandsbeziehungen, um die Quadratur des Kreises geometrisch zu erhalten.

Hinweis: Hier meine noch einmal weiter verkürzte Version:

Oben die originale Zeichnung.

Unten eine gesäuberte Version: