Rotation von B durch die Neigung von A

Die Rotation von B entsteht durch den tangential wirksamen Feldgradienten des Magnetkörpers A. Die feldbasierte Masterformel lautet:

$$I_B\frac{d{\omega }_B(t)}{dt}=\sum _{i=1}^N{[({\widehat{m}}_B\cdot \mathrm{\nabla }){\vec{B}}_{A,i}(r,\theta ,t;\alpha ,\beta )]}_{\text{geom. erlaubt}}\cdot {\widehat{e}}_{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}}(t)$$

A besitzt zwei unabhängige Neigungswinkel:

• $\alpha$ = seitliche Neigung (links/rechts)
• $\beta$ = Vor‑/Zurück‑Neigung (Bahnseite/Bahnweite)

Das Magnetfeld von A hängt von beiden Winkeln ab:

$${\vec{B}}_A={\vec{B}}_A(r,t;\alpha ,\beta )$$

Mechanismus: Polsprung‑Ansatz, Schieflage und Rollen

Wenn A sich B von hinten nähert, steigt der magnetische Feldgradient. B versucht daraufhin, seine Dipolachse an das Feld von A anzupassen („Polsprung“). Da der Polsprung jedoch nicht vollständig gelingt, entsteht nur ein Ansatz der Drehung, der B in eine leichte Schieflage bringt.

Durch diese Schieflage verlagert sich der Auflagepunkt von B auf eine untere Kante, sodass ein Rollpunkt entsteht. B rollt dadurch entlang der Bahn, anstatt geschoben zu werden.

Die Rotation bleibt stabil, solange die durch den unvollständigen Polsprung erzeugte Schieflage von B erhalten bleibt und A hinter B hergeführt wird, ohne stehen zu bleiben. (A muss sich also weiterbewegen; die Geschwindigkeit darf dabei beliebig klein sein. Der Abstand ergibt sich automatisch aus der magnetischen Wechselwirkung.)

Effektive Drehmomentform

Da der Abstand zwischen A und B nahezu konstant bleibt $(\mathrm{\parallel }d(t)\mathrm{\parallel }\approx d_0)$, lässt sich das Drehmoment kompakt schreiben:

$$I_B\frac{d{\omega }_B(t)}{dt}=M_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(\beta )\sin (\alpha )$$

• $\sin (\alpha )$ bestimmt Vorzeichen und Stärke der Rotation
• $M_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(\beta )$ bestimmt Bahnseite und Bahnweite, aber nicht die Drehrichtung

Rotationsrichtung von B

Die Drehrichtung hängt ausschließlich vom Vorzeichen der seitlichen Neigung ab:

$$\mathrm{sgn}({\omega }_B)=-\mathrm{sgn}(\alpha )$$

• $\alpha >0$ → Rotation in Richtung 1
• $\alpha <0$ → Rotation in Richtung 2
• $\beta$ ändert daran nichts

Geometrische Bedingungen des A‑B‑Systems

A folgt B mit nahezu konstantem Abstand:

$$s_A(t)=s_B(t)-\mathrm{\Delta }s,\mathrm{\Delta }s>0,\mathrm{\mid }\mathrm{\Delta }s\mathrm{\mid }\ll 1$$

Der laterale Abstand bleibt stabil:

$$\mathrm{\parallel }d(t)\mathrm{\parallel }=d_0+\delta d(t),\mathrm{\mid }\delta d(t)\mathrm{\mid }\ll d_0$$

Die magnetische Kraft ist nahezu konstant:

$${\vec{F}}_{AB}(t)\approx k_A\frac{m_A{m}_B}{d_0^3}\vec{d}(t)$$

Das Drehmoment auf B lautet:

$${\vec{\tau }}_{AB}(t)=\vec{r}(t)\times {\vec{F}}_{AB}(t)$$

Die für die Rotation relevante Komponente:

$$I_B\frac{d{\omega }_B(t)}{dt}=(\vec{r}(t)\times {\vec{F}}_{AB}(t))\cdot {\widehat{e}}_{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}}(t)$$

Gesamtverhalten des A‑B‑Systems

• A verfolgt B auf gleicher Ebene mit fast konstantem Abstand.
• B versucht beim Annähern von A einen Polsprung, schafft aber nur den Ansatz.
• Dadurch kippt B leicht, steht auf einer unteren Kante und rollt stabil entlang der Bahn.
• $\alpha$ steuert die Rotationsrichtung.
• $\beta$ steuert Bahnseite und Bahnweite.
• A schiebt B nicht; die Rotation entsteht durch die Schieflage und den tangentialen Feldgradienten.
• A darf nicht stehen bleiben — aber seine Geschwindigkeit muss nicht konstant sein.
• B rollt A dauerhaft davon, solange der Drehteller läuft.